Question

20．已知函数f（x）=e^x-asinx-1，a∈R．
（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）≥0在区间[0，1）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率、切点，由点斜式写出方程．
（2）f（x）≥0在区间[0，1）恒成立?asinx≤e^x-1在区间[0，1）恒成立．①当x=0时，a∈R，②当x∈（0，1）时，原不等式等价于a$≤\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$，x∈（0，1），利用导数求出h（x）在（0，1）上递增，由洛必达法则得$\underset{lim}{n→0}\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$=$\underset{lim}{n→0}\frac{{e}^{x}}{cosx}$=$\frac{1}{1}=1$，即可求得a的取值范围

解答 解：（1）a=1时，f（x）=e^x-sinx-1，f′（x）=e^x-cosx，
∴f′（0）=e⁰-cos0=0，且f（0）=e⁰-sin0-1=0，
∴f（x）在x=0处的切线方程为：y=0
（2）f（x）≥0在区间[0，1）恒成立?asinx≤e^x-1在区间[0，1）恒成立．
①当x=0时，a∈R，
②当x∈（0，1）时，原不等式等价于a$≤\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$，x∈（0，1）
h′（x）=$\frac{{e}^{x}sinx-{e}^{x}cosx+cosx}{si{n}^{2}x}$，
令G（x）=e^xsinx-e^xcosx+cosx，（x∈（0，1））
G′（x）=（2e^x-1）sinx≥0，在x∈（0，1）恒成立．
∴G（x）=e^xsinx-e^xcosx+cosx，（x∈（0，1））单调递增，而G（0）=0．
故G（x）≥0在（0，1）上恒成立，∴h′（x）≥在（0，1）上恒成立．
h（x）在（0，1）上递增，
x→0时，sinx→0，e^x-1→0，
由洛必达法则得$\underset{lim}{n→0}\frac{{e}^{x}-1}{sinx}$=$\underset{lim}{n→0}\frac{{e}^{x}}{cosx}$=$\frac{1}{1}=1$，
即a≤1，
综上，a的取值范围为（-∞，1]

点评 本题考查了导数的几何意义，利用导数探究函数单调性，以及洛必达法则处理参数问题，属于难题．