Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=7，S₄=24，数列{b_n}的前n项和T_n=n₂+a_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{b_n}{2^n}}\right\}$的前n项和B_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式求出a₁，和d，即可得到数列{a_n}的通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{b_n}的通项公式；
（2）当n=1时求出B₁，当n≥2时，利用错位相减法求数列$\left\{{\frac{b_n}{2^n}}\right\}$的前n项和B_n，验证首项后得答案．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则由a₃=7，S₄=24，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3×d}{2}=24}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∵T_n=n²+a_n=n²+2n+1=（n+1）²，
当n=1时，b₁=4，
当n≥2
∴T_n-1=n²，
∴b_n=T_n-T_n-1=2n+1，
当n=1时，b₁=3≠4，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2n+1，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{4}{2}=2$；
当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．
∴B₁=2，
当n≥2时，${B}_{n}=2+\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}{B}_{n}=1+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n}}+\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
得$\frac{1}{2}{B}_{n}=\frac{9}{4}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{9}{4}+\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{9}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{11}{4}-\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$．
∴${B}_{n}=\frac{11}{2}-\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
验证n=1时成立，
∴${B}_{n}=\frac{11}{2}-\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．