Question

13．已知奇函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点M的坐标为（1，0）且△MNE为等腰直角三角形，当A的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题意，f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，可得f（0）=0，求出φ=$\frac{π}{2}$．
点M的坐标为（1，0）且△MNE为等腰直角三角形，可得∠EMN=45°，MN=$\frac{2π}{ω}×\frac{1}{2}$．可得E是坐标．

解答 解：由题意，f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，可得f（0）=0，
即cosφ=0，
∴φ=$\frac{π}{2}$．
那么f（x）=-Asinωx．
点M的坐标为（1，0），图象过M点，
可得-Asinω=0
即ω=kπ，k∈Z
∵△MNE为等腰直角三角形，可得∠EMN=45°，MN=$\frac{2π}{ω}×\frac{1}{2}$．
过E作MN垂线交MN于F，则MF=$\frac{π}{2ω}$，
∴F（1$+\frac{π}{2ω}$，0）
可得E的坐标为（1$+\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$）
∴A=$\frac{π}{2ω}$．
∵ω＞0，
∴ω最小值为π．
∴A的最大值为$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题中的重要性质要注意灵活运用：若奇函数的定义域包括0，则f（0）=0；解决本题的另一关键是图象过M点，确定ω的值，属于中档题．