Question

8．函数$f（x）=Asin（ωx+\frac{π}{6}）（A＞0，ω＞0）$的最大值为2，它的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=cosx•f（x），求g（x）在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）最小正周期为2π，求出ω．f（x）的最大值2，所以A=2．可得解析式
（Ⅱ）根据g（x）=cosx•f（x），求出g（x）的解析式，x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=Asin（ωx+\frac{π}{6}）（A＞0，ω＞0）$，
∵f（x）的最小正周期为2π
∴$\frac{2π}{ω}=2π$，
解得ω=1．
∵f（x）的最大值2，∴A=2．
故得f（x）的解析式为$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）=2sinxcos\frac{π}{6}+2cosxsin\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}sinx+cosx$
那么g（x）=cosx•f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$
∵x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上时，
可得：$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$
于是，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，g（x）取得最大值为$\frac{3}{2}$；
当2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$时，g（x）取得最小值为0．
∴g（x）在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为0．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．