Question

18．设数列{a_n+1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a₃=7，a₇=127．
（1）求的a₁值；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
（II）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）由题可知a₃+1=8，a₇+1=128，…（2分）
又数列{a_n+1}是一个各项均为正数的等比数列，
则${（{a_5}+1）^2}=（{a_3}+1）（{a_7}+1）=8×128$，
可得a₅+1=32=（a₁+1）×$（\frac{32}{8}）^{2}$，
解得a₁=1．…（6分）
（II）{a_n+1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
∴${a_n}+1=2×{2^{n-1}}={2^n}$，∴${a_n}={2^n}-1$，…（9分）
利用分组求和可得${S_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-2-n$．…（12分）

点评 本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．