Question

3．已知直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）．
（1）使判断l与C的位置关系；
（2）若把曲线C₁上个点的横坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可得解．
（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C₂任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．

解答 （本题满分为10分）
解：（ I）$l：x-y-2=0，{C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，…（2分）
$d=\frac{{|{0-0-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}＞1$，
所以直线与曲线相离．…（5分）
（ II）变化后的曲线方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ.\end{array}\right.$
设点$P（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，…（7分）
则点到直线的距离是$d=\frac{{|{\frac{1}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{sin（\frac{π}{6}-θ）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$，
则最小距离是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程化为普通方程，直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C₂的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．