Question

10．若等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₃-a₁=2，则a₅的最小值为8．

Answer 1

分析 由已知把首项用公比q表示，再由等比数列的通项公式可得a₅，然后利用配方法求得a₅的最小值．

解答 解：∵a_n＞0，且a₃-a₁=2，
∴${a}_{1}{q}^{2}-{a}_{1}=2$，则${a}_{1}=\frac{2}{{q}^{2}-1}$（q＞0），
∴${a}_{5}={a}_{1}{q}^{4}=\frac{2{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=$\frac{2}{\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{{q}^{4}}}$．
令$t=\frac{1}{{q}^{2}}$（t＞0），则${a}_{5}=\frac{2}{-{t}^{2}+t}$，
又$-{t}^{2}+t=-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}≤\frac{1}{4}$，
∴a₅∈[8，+∞）．
∴a₅的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了利用配方法求函数的最值，是中档题．