Question

20．已知函数f（x）=|3x-1|-2|x|+2．
（1）解不等式：f（x）＜10；
（2）若对任意的实数x，f（x）-|x|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，解不等式：f（x）＜10；
（2）对任意的实数x，f（x）-|x|≤a恒成立，即|3x-1|-|3x|≤a-2，利用|3x-1|-|3x|≤|3x-1-3x|=1，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）x＜0时，不等式化为-3x+1+2x+2＜10，解得x＞-7，∴-7＜x＜0；
0$≤x≤\frac{1}{3}$时，不等式化为-3x+1-2x+2＜10，解得x＞-$\frac{7}{5}$，∴0$≤x≤\frac{1}{3}$；
x＞$\frac{1}{3}$时，不等式化为3x-1-2x+2＜10，解得x＜9，∴$\frac{1}{3}＜x＜9$；
综上所述，不等式的解集为（-7，9）；
（2）对任意的实数x，f（x）-|x|≤a恒成立，即|3x-1|-|3x|≤a-2，
∵|3x-1|-|3x|≤|3x-1-3x|=1，
∴a-2≥1，∴a≥3．

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．