Question

2．已知函数f（x）=e^x+x²-x，g（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y=g（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；
（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据切线方程求出a，b，c的值即可；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x），求出函数的导数，通过讨论a的范围，问题转化为b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1），得到a+b≤2（a+1）-（a+1）ln（a+1）-1，
令G（x）=2x-xlnx-1，x＞0，根据函数的单调性求出a+b的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=e^x-2x-b，则F'（x）=e^x-2．
令F'（x）=e^x-2＞0，得x＞ln2，所以F（x）在（ln2，+∞）上单调递增．
令F'（x）=e^x-2＜0，得x＜ln2，所以F（x）在（-∞，ln2）上单调递减．…（4分）
（Ⅱ）因为f'（x）=e^x+2x-1，所以f'（0）=0，所以l的方程为y=1．
依题意，$-\frac{a}{2}=1$，c=1．
于是l与抛物线g（x）=x²-2x+b切于点（1，1），
由1²-2+b=1得b=2．
所以a=-2，b=2，c=1．…（8分）
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-（a+1）x-b，则h（x）≥0恒成立．
易得h'（x）=e^x-（a+1）．
（1）当a+1≤0时，
因为h'（x）＞0，所以此时h（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
①若a+1=0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤-1；
②若a+1＜0，取x₀＜0且${x_0}＜\frac{1-b}{a+1}$，
此时$h（{x_0}）={e^{x_0}}-（a+1）{x_0}-b＜1-（a+1）\frac{1-b}{a+1}-b=0$，所以h（x）≥0不恒成立．
不满足条件；
（2）当a+1＞0时，
令h'（x）=0，得x=ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；
由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．
所以h（x）在（-∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．
要使得“h（x）=e^x-（a+1）x-b≥0恒成立”，必须有：
“当x=ln（a+1）时，h（x）_min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0”成立．
所以b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1）．则a+b≤2（a+1）-（a+1）ln（a+1）-1．
令G（x）=2x-xlnx-1，x＞0，则G'（x）=1-lnx．
令G'（x）=0，得x=e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；
由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以，当x=e时，G（x）_max=e-1．
从而，当a=e-1，b=0时，a+b的最大值为e-1．
综上，a+b的最大值为e-1．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．