Question

13．如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，∠GDC=90°，点E是线段GC的中点．
（1）若点P为线段GD的中点，证明：平面APE⊥平面GCD；
（2）求平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）易得CD⊥面ADG．只需PE∥CD，即可得PE⊥面ADG，平面APE⊥平面GCD；
（2）如图以AD的中点O为原点，DA为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系．设AD=2，则B（1，2，0），D（-1，0，0），C（-1，2，0），G（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），利用向量求解．

解答 解：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∠GDC=90°，
∴$\left\{\begin{array}{l}{CD⊥AD}\\{CD⊥DG}\end{array}\right.$，且AD∩DG=D，∴CD⊥面ADG．
∵点E是线段GC的中点．点P为线段GD的中点，∴PE∥CD，∴PE⊥面ADG，
又因为PE?面GCD，平面APE⊥平面GCD．
（2）如图以AD的中点O为原点，DA为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系．
设AD=2，则B（1，2，0），D（-1，0，0），C（-1，2，0），G（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
设面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，-2，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-\frac{3}{2}，-1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\frac{3}{2}x-y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，-\sqrt{3}，1）$
由（1）得CD⊥AP，∵，△GAD为等边三角形，∴AP⊥GD，即可得AP⊥面GCD，
∴可取$\overrightarrow{AP}$为面GCD的法向量，∵P（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（1，0，0）
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7}×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，向量的应用，属于中档题．