Question

4．在区间[0，1]内随机取两个数分别为a，b，则使得方程x²+2ax+b²=0有实根的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[0，1]上任取两个数a和b，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根，根据二次方程的判别式写出a，b要满足的条件，写出对应的集合，做出面积，得到概率．

解答 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是在区间[0，1]上任取两个数a和b，
事件对应的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1}
对应的面积是s_Ω=1
满足条件的事件是关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根，
即4a²-4b²≥0，
∴a≥b，
事件对应的集合是A={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b}
对应的图形的面积是s_A=$\frac{1}{2}$，
∴根据等可能事件的概率得到P=$\frac{1}{2}$．
故选C．

点评 本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．