Question

3．已知函数f（x）=xln|x|+1，则f（x）的极大值与极小值之和为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． $2-\frac{2}{e}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用x与0大小讨论，分别求解函数的导数，求解函数的极值，推出结果即可．

解答 解：当x＞0时，函数f（x）=xlnx+1，则f′（x）=lnx+1，令lnx+1=0解得x=$\frac{1}{e}$，0＜x$＜\frac{1}{e}$，f′（x）＜0，函数是减函数，当x$＞\frac{1}{e}$时，函数是增函数，x=$\frac{1}{e}$函数取得极小值：1-$\frac{1}{e}$；
当x＜0时，函数f（x）=xln（-x）+1，则f′（x）=ln（-x）+1，令ln（-x）+1=0解得x=-$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{e}$＜x＜0，f′（x）＜0，函数是减函数，当x$＜-\frac{1}{e}$时，函数是增函数，x=-$\frac{1}{e}$函数取得极大值：1+$\frac{1}{e}$；
函数的极值的和为：2．
故选：D．

点评 本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，注意分类讨论思想的应用．