Question

18．已知F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦点，点P（x₀，y₀）在椭圆C上．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值；
（Ⅱ）设直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P在第一象限，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-1$，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出F₁，F₂的坐标，利用坐标表示写出$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$，根据点P在椭圆C上，求出$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值；
（Ⅱ）设出l的方程以及点A、B的坐标，直线方程与椭圆方程联立，消去y利用判别式△＞0和根与系数的关系，
由弦长公式和点到直线的距离求出三角形的面积，再求面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦点，
∴${F_1}（-\sqrt{6}，0）$，${F_2}（\sqrt{6}，0）$，
∴$\overrightarrow{P{F_1}}=（-\sqrt{6}-{x_0}，-{y_0}）$，$\overrightarrow{P{F_2}}=（\sqrt{6}-{x_0}，{y_0}）$，
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={x_0}^2+{y_0}^2-6$；
又点P（x₀，y₀）在椭圆C上，∴$\frac{{{x_0}^2}}{8}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1$，即${y_0}^2=2-\frac{{{x_0}^2}}{4}$，
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={x_0}^2+2-\frac{{{x_0}^2}}{4}-6=-4+\frac{{3{x_0}^2}}{4}$（$-2\sqrt{2}≤{x_0}≤2\sqrt{2}$），
∴当x₀=0时，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值为-4；
（Ⅱ）设l的方程为$y=\frac{1}{2}x+b$，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+b\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，消去y得x²+2bx+2b²-4=0，
令△=4b²-8b²+16＞0，解得-2＜m＜2；
由根与系数的关系得x₁+x₂=-2b，${x_1}{x_2}=2{b^2}-4$，
由弦长公式得$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{5（4-{b^2}）}$，
又点P到直线l的距离为$d=\frac{|b|}{{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}=\frac{2|b|}{{\sqrt{5}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}×\frac{2|b|}{{\sqrt{5}}}×\sqrt{5（4-{b^2}）}$=$\sqrt{{b^2}（4-{b^2}）}$$≤\frac{{{b^2}+4-{b^2}}}{2}=2$，
当且仅当$b=±\sqrt{2}$时，等号成立，
∴△PAB面积最大值为2．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了弦长公式与点到直线距离的应用问题，是综合性题．