Question

7．设P为曲线C₁上动点，Q为曲线C₂上动点，则称|PQ|的最小值为曲线C₁，C₂之间的距离，记作d（C₁，C₂）．若C₁：x²+y²=2，C₂：（x-3）²+（y-3）²=2，则d（C₁，C₂）=$\sqrt{2}$；若C₃：e^x-2y=0，C₄：lnx+ln2=y，则d（C₃，C₄）=$\sqrt{2}$（1-ln2）．

Answer 1

分析 考虑到C₁：x²+y²=2，C₂：（x-3）²+（y-3）²=2，利用圆心距减去半径，可得结论；
考虑到两曲线C₃：e^x-2y=0，C₄：lnx+ln2=y关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值．

解答 解：C₁（0，0），r₁=$\sqrt{2}$，C₂（3，3），r₂=$\sqrt{2}$，d（C₁，C₂）=3$\sqrt{2}$$-\sqrt{2}-\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；
∵C₃：e^x-2y=0，C₄：lnx+ln2=y互为反函数，
先求出曲线e^x-2y=0上的点到直线y=x的最小距离．
设与直线y=x平行且与曲线e^x-2y=0相切的切点P（x₀，y₀）．
y′=$\frac{1}{2}$e^x，
∴$\frac{1}{2}{e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=ln2
∴y₀=1．
得到切点P（ln2，1），到直线y=x的距离d=$\frac{1-ln2}{\sqrt{2}}$，
丨PQ丨的最小值为2d=$\sqrt{2}$（1-ln2），
故答案为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$（1-ln2）．

点评 本题主要考查圆与圆的位置关系，考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法．