Question

11．如图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC₁B₁，如图2．

（Ⅰ） 求证：平面ADE⊥平面AEB₁；
（Ⅱ） 若二面角A-DE-C₁的大小为$\frac{π}{3}$，求三棱锥C₁-AB₁D的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由原图形中的DE⊥AB，可得折起后DE⊥AE，DE⊥B₁E，再由线面垂直的判定可得DE⊥平面AEB₁，进一步得到平面ADE⊥平面AEB₁；
（Ⅱ）通过解三角形求出三角形ADB₁ 的面积，利用等积法求得E到平面ADB₁ 的距离，再由比例关系求得C₁到平面ADB₁ 的距离，则三棱锥C₁-AB₁D的体积可求．

解答 证明：（Ⅰ）∵图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵将四边形EBCD沿DE折起至EDC₁B₁，如图2，
∴DE⊥AE，DE⊥B₁E，
又AE∩B₁E=E，∴DE⊥平面AEB₁，
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面AEB₁；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥AE，DE⊥B₁E，∴∠AEB₁ 为二面角A-DE-C₁的平面角为$\frac{π}{3}$，又∵AE=EB₁=1，∴△AEB₁ 为正三角形，则AB₁=1．
在RtDEB₁ 中，由${B}_{1}E=1，DE=\sqrt{3}$，可得B₁D=2，
∴△ADB₁是等腰三角形，底边AB₁ 上的高等于$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$．
则${S}_{△AD{B}_{1}}=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{15}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$．
设E到平面ADB₁的距离为h，则由等积法得：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{4}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$，
得h=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∵C₁D∥B₁E，且C₁D=2B₁E，
∴C₁ 到平面ADB₁ 的距离为$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
则${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}D}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{2\sqrt{15}}{5}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．