Question

已知向量

a

=（-1，cosωx+

3

sinωx），

b

=（f（x），cosωx），其中ω＞0，且

a

⊥

b

，又f（x）的图象两相邻对称轴的距离为

3

2

π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由向量垂直可得数量积为0，代入可得函数解析式，由题意可得周期，进而可得ω的值；
（2）先由2kπ+

π

2

≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

   ，k∈Z解得总的单调区间，结合x∈[0，2π]，可得答案．

解答： 解：（1）由题意

a

•

b

=0，
∴f（x）=cosωx（cosωx+

3

sinωx）
=

1+cosωx

2

+

3 sin2ωx

2

=

1

2

+sin(2ωx+

π

6

)
由题意，函数周期为3π，又ω＞0，∴ω=

1

3

；
（2）由（1）知f（x）=

1

2

+sin(

2

3

x+

π

6

)，
由2kπ+

π

2

≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

   ，k∈Z
可得3kπ+

π

2

≤x≤3kπ+2π   ，k∈Z，
又x∈[0，2π]，
∴f（x）的减区间是[

π

2

，2π]．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，涉及向量的数量积的运算，属中档题．