Question

14．已知函数f（x）=e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x²-3ax+a²））（a＞0）
（1）求函数f（x）单调区间；
（2）函数f（x）在（-∞，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，求函数f（x）单调区间；
（2）由（1）可知，函数在x=2a处取得极小值，函数无最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x²-3ax+a²），
∴f′（x）=$\frac{1}{a}$•e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x+a）（x-2a）
∵a＞0，
∴令f′（x）＞0，可得x＜-a或x＞2a；f′（x）＜0，可得-a＜x＜2a，
∴函数的单调递增区间是（-∞，-a），（2a，+∞）；单调减区间是（-a，2a）；
（2）由（1）可知，函数在x=2a处取得极小值，函数无最小值．

点评 本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用以及分析问题能力，属于中档题．