Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{cosα}$+$\frac{{y}^{2}}{sinα}$=1的离心率为$\sqrt{3}$，则sin2α=（　　）

• A． -1
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根据双曲线$\frac{{x}^{2}}{cosα}$+$\frac{{y}^{2}}{sinα}$=1的离心率为$\sqrt{3}$，求出tanα=-$\frac{1}{2}$，利用sin2α=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$，即可得出结论．

解答 解：因为双曲线$\frac{{x}^{2}}{cosα}$+$\frac{{y}^{2}}{sinα}$=1的离心率为$\sqrt{3}$，
所以$\frac{sinα-cosα}{sinα}$=3，
所以tanα=-$\frac{1}{2}$，
所以sin2α=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线离心率的计算问题．在求双曲线的离心率时，其关键是求出c，a之间的关系，即可求出双曲线的离心率，属于基础题．