Question

14．已知{a_n}（n=1，2，3，…）是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项a_n+1，a_n+2，…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
（1）若{a_n}满足a₁=3，当n≥2时，${a_n}={3^n}-1$，写出d₁，d₂，d₃的值；
（2）设d是非负整数，证明：d_n=-d的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
（3）若{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$，求数列$\left\{{-\frac{n^2}{d_n}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}满足a₁=3，当n≥2时，a_n=3ⁿ-1，可知数列{a_n}为单调递增数列．可得A_n，B_n，d_n=A_n-B_n．
（2）充分性：设{a_n}是公差为d的等差数列，d是非负整数．则A_n=a_n，B_n=a_n+1，即可得出．
必要性：若 d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假设a_k是第一个使a_k-a_k-1＜0的项，则d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，这与d_n=-d≤0相矛盾，故{a_n}是一个不减的数列．即可证明．
（3）${{a}_{n}=2}^{n}$，可知数列{a_n}为单调递增数列．可得：A_n=2ⁿ，B_n=2ⁿ⁺¹．d_n=-2ⁿ，$-\frac{{n}^{2}}{{d}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$．数列$\left\{{-\frac{n^2}{d_n}}\right\}$的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，两次利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）解：∵{a_n}满足a₁=3，当n≥2时，a_n=3ⁿ-1，可知数列{a_n}为单调递增数列．
∴当n=1时，A₁=a₁=3；B₁=a₂=3²-1=8，d₁=A₁-B₁=3-8=-5．
当n=2时，A₂=a₂=8；B₂=a₃=3³-1=26，d₂=A₂-B₂=8-26=-18．
当n=3时，A₃=a₃=26；B₃=a₄=3⁴-1=80，d₃=A₃-B₃=26-80=-54．
（2）证明：充分性：设{a_n}是公差为d的等差数列，d是非负整数．
则A_n=a_n，B_n=a_n+1，∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d．
必要性：若 d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假设a_k是第一个使a_k-a_k-1＜0的项，
则d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，这与d_n=-d≤0相矛盾，故{a_n}是一个不减的数列．
∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d，即 a_n+1-a_n=d，故{a_n}是公差为d的等差数列．
（3）解：∵${{a}_{n}=2}^{n}$，可知数列{a_n}为单调递增数列．
可得：A_n=2ⁿ，B_n=2ⁿ⁺¹．
∴d_n=A_n-B_n=-2ⁿ．
∴$-\frac{{n}^{2}}{{d}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$．
∴数列$\left\{{-\frac{n^2}{d_n}}\right\}$的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{{2}^{2}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{（n-1）^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n+1}}$，
令H_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}$H_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$H_n=$\frac{1}{2}$+2×$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴H_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
∴$\frac{1}{2}$S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=6-$\frac{4n+6+{n}^{2}}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、“错位相减法”、新定义，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于难题．