Question

6．已知函数f（x）=ax-lnx-4（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=2时，若存在区间$[{m，n}]⊆[{\frac{1}{2}，+∞}）$，使f（x）在[m，n]上的值域是$[{\frac{k}{m+1}，\frac{k}{n+1}}]$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）得出$f（m）=\frac{k}{m+1}，f（n）=\frac{k}{n+1}$，其中$\frac{1}{2}≤m＜n$，则$f（x）=\frac{k}{x+1}$在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上至少有两个不同的实数根，构造函数，即可求k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），$f'（x）=\frac{ax-1}{x}$，
当a≤0时，f'（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数，（2分）
当a＞0时，令f'（x）=0，则$x=\frac{1}{a}$，当$x∈（{0，\frac{1}{a}}）$时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，
当$x∈（{\frac{1}{a}，+∞}）$时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，（4分）
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减函数；当a＞0时，f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}）$上为减函数，在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$上为增函数．（5分）
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=2x-lnx-4，由（Ⅰ）知：f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上为增函数，而$[{m，n}]⊆[{\frac{1}{2}，+∞}）$，
∴f（x）在[m，n]上为增函数，结合f（x）在[m，n]上的值域是$[{\frac{k}{m+1}，\frac{k}{n+1}}]$知：$f（m）=\frac{k}{m+1}，f（n）=\frac{k}{n+1}$，其中$\frac{1}{2}≤m＜n$，
则$f（x）=\frac{k}{x+1}$在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上至少有两个不同的实数根，（7分）
由$f（x）=\frac{k}{x+1}$得k=2x²-2x-（x+1）lnx-4，
记φ（x）=2x²-2x-（x+1）lnx-4，$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$，则$φ'（x）=4x-\frac{1}{x}-lnx-3$，
记$F（x）=φ'（x）=4x-\frac{1}{x}-lnx-3$，则$F'（x）=\frac{{4{x^2}-x+1}}{x^2}=\frac{{{{（{2x-1}）}^2}+3x}}{x^2}＞0$，
∴F（x）在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上为增函数，即φ'（x）在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上为增函数，
而φ'（1）=0，∴当$x∈（{\frac{1}{2}，1}）$时，φ'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，（10分）
而$φ（{\frac{1}{2}}）=\frac{3ln2-9}{2}$，φ（1）=-4，当x→+∞时，φ（x）→+∞，
故得：$φ（1）＜k≤φ（{\frac{1}{2}}）⇒-4＜k≤\frac{3ln2-9}{2}$，∴k的取值范围是$（{-4，\frac{3ln2-9}{2}}]$．（12分）

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，利用了转化的思想，此题是一道中档题；