Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，右焦点$F（\sqrt{3}，0）$，且离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，求△OMN（O为坐标原点）的面积．

Answer 1

分析 （1）由椭圆右焦点$F（\sqrt{3}，0）$，且离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线MN的方程为：$y=x-\sqrt{3}$，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得：$5{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，能求出△OMN（O为坐标原点）的面积．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，右焦点$F（\sqrt{3}，0）$，且离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴由题意可知$\left\{\begin{array}{l}c=\sqrt{3}\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，…（2分）
解得a=2，b=1…（5分）
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（2）由已知可设直线MN的方程为：$y=x-\sqrt{3}$…（7分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$
消去y得：$5{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$…（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}\\{x_1}{x_2}=\frac{8}{5}\end{array}\right.$…（9分）
∴$|{MN}|=\sqrt{1+{1^2}}•\sqrt{（{x_1}+{x_2}）-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{{（\frac{{8\sqrt{3}}}{5}）}^2}-4×\frac{8}{5}{x_1}{x_2}}$=$\frac{8}{5}$…（10分）
点O到直线MN的距离为：$d=\frac{{|{0-0-\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（11分）
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|{MN}|•d=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，
故△OMN（O为坐标原点）的面积为$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$．…12分

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．