Question

5．已知x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{2x+y+5≥0}\\{x-y+1≥0}\end{array}}\right.$，则$z=\frac{x+1}{x+2y-3}$的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-1，]∪[3，+∞）
• B． $[{-1，\frac{1}{7}}]$
• C． $[{-1，0}）∪（{0，\frac{1}{7}}]$
• D． （-∞，-1]∪[7，+∞）

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z′=$\frac{y-2}{x+1}$的几何意义求出z的范围即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
∵$z=\frac{x+1}{x+2y-3}$，∴$\frac{1}{z}$=$\frac{x+2y-3}{x+1}$=1+$\frac{2（y-2）}{x+1}$，
令z′=$\frac{y-2}{x+1}$，z′的几何意义表示平面区域内的点和（-1，2）点的直线的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+5=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（-2，-1），
故K_AD=$\frac{2+1}{-1+2}$=3，K_CD=-1，
∴-1≤$\frac{1}{z}$≤7，
故-1≤z＜0或0＜z≤$\frac{1}{7}$，
故选：C．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．