Question

20．函数f（x）是定义域在R的可导函数，满足：f（x）＜f′（x）且f（0）=2，则$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞2的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根据条件构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求函数F（x）的导数，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．

解答 解：设F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则F′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＜f′（x），
∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增；
∵f（0）=2，
∴不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞2等价为F（x）＞F（0），
解得x＞0，
所求不等式的解集为（0，+∞）．
故选：B．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．