Question

19．已知函数$f（x）=lnx+\frac{a}{2}{x^2}-（a+1）x$．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-2，求f（x）的单调区间；
（2）若x＞0时，$\frac{f（x）}{x}＜\frac{f'（x）}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得$f'（x）=\frac{1}{x}+ax-（a+1）$，则f'（1）=0，f（1）=-2，解得a．分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间．
（2）若$\frac{f（x）}{x}＜\frac{f'（x）}{2}$，得$\frac{lnx}{x}+\frac{a}{2}x-（a+1）＜\frac{1}{2x}+\frac{ax}{2}-\frac{a+1}{2}$，即$\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2x}＜\frac{a+1}{2}$在区间（0，+∞）上恒成立．设$h（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2x}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）由已知得$f'（x）=\frac{1}{x}+ax-（a+1）$，则f'（1）=0，
而$f（1）=ln1+\frac{a}{2}-（a+1）=-\frac{a}{2}-1$，∴函数f（x）在x=1处的切线方程为$y=-\frac{a}{2}-1$．
则$-\frac{a}{2}-1=-2$，解得a=2，
那么$f（x）=lnx+{x^2}-3x，f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3$，
由$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}＞0$，得$0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞1，
因则f（x）的单调递增区间为$（0，\frac{1}{2}）$与（1，+∞）；
由$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3＜0$，得$\frac{1}{2}＜x＜1$，
因而f（x）的单调递减区间为$（\frac{1}{2}，1）$．
（2）若$\frac{f（x）}{x}＜\frac{f'（x）}{2}$，得$\frac{lnx}{x}+\frac{a}{2}x-（a+1）＜\frac{1}{2x}+\frac{ax}{2}-\frac{a+1}{2}$，
即$\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2x}＜\frac{a+1}{2}$在区间（0，+∞）上恒成立．
设$h（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2x}$，则$h'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}+\frac{1}{{2{x^2}}}=\frac{3-2lnx}{{2{x^2}}}$，
由h'（x）＞0，得$0＜x＜{e}^{\frac{3}{2}}$，因而h（x）在$（0，{e}^{\frac{3}{2}}）$上单调递增，
由h'（x）＜0，得$x＞{e}^{\frac{3}{2}}$，因而h（x）在$（{e}^{\frac{3}{2}}，+∞）$上单调递减．
∴h（x）的最大值为$h（{e}^{\frac{3}{2}}）$=${e}^{-\frac{3}{2}}$，因而$\frac{a+1}{2}$$＞{e}^{-\frac{3}{2}}$，
从而实数a的取值范围为$\{a|a＞2{e}^{-\frac{3}{2}}-1\}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、方程的解法、利用导数研究切线方程、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．