Question

4．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，其中a＞0，
（1）若x=1是f（x）的极值点，求a；
（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（3）设g（x）=-$\int_0^x$[f（t）-lnt+at]dt，若对于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得g（x₁）•g（x₂）=1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则可得：由题意得，f′（1）=0，解得a，即可得出．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＞0 时，f′（x）=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$ 或x=$\frac{1}{a}$，对a与1，e的大小关系分类讨论，利用单调性即可得出．
（3）$g（x）=-\int_0^x{（a{t^2}}-2t）dt=-\frac{a}{3}{x^3}+{x^2}$，由题意知，y=g（x）（x＞2）的值域是$y=\frac{1}{g（x）}（x＞1）$的值域的子集．
设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B=$\{\frac{1}{g（x）}|x∈（1，+∞），g（x）≠0\}$，则 A⊆B，g′（x）=-ax²+2x，令g′（x）=0，则x=0或$x=\frac{2}{a}$，可得g（x）的单调性，又$g（0）=g（\frac{3}{a}）=0$，当x∈$（0，\frac{3}{a}）$时，g（x）＞0；当x∈$（\frac{3}{a}，+∞）$时，g（x）＜0．下面分三种情况讨论：①当$\frac{3}{a}$＞2，即$0＜a＜\frac{3}{2}$时；②当$1≤\frac{3}{a}≤2$，即$\frac{3}{2}≤a≤3$时；③当$\frac{3}{a}＜1$，即a＞3时，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
由题意得，f′（1）=0，解得a=1，经检验符合题意．
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），
当a＞0 时，f′（x）=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$ 或x=$\frac{1}{a}$，
①当0＜a≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=-2，符合题意；
②当$1＜\frac{1}{a}＜e$，即$\frac{1}{e}＜a＜1$ 时，f（x） 在$[1，\frac{1}{a}]$ 上递减，在$[\frac{1}{a}，e]$上递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值为$f（\frac{1}{a}）$＜f（1）=-2，不合题意；
③当$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$时，f（x） 在[1，e]上递减，
∴f（x） 在[1，e]上的最小值为f（e）＜f（1）=-2，不合题意，
综上，a的取值范围是[1，+∞）．
（3）$g（x）=-\int_0^x{（a{t^2}}-2t）dt=-\frac{a}{3}{x^3}+{x^2}$
由题意知，y=g（x）（x＞2）的值域是$y=\frac{1}{g（x）}（x＞1）$的值域的子集．
设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B=$\{\frac{1}{g（x）}|x∈（1，+∞），g（x）≠0\}$，则 A⊆B，g′（x）=-ax²+2x，令g′（x）=0，则x=0或$x=\frac{2}{a}$
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{2}{a}）$	$\frac{2}{a}$	$（\frac{2}{a}，+∞）$
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	0	↗	$\frac{1}{3{a}^{2}}$	↘

又$g（0）=g（\frac{3}{a}）=0$
∴当x∈$（0，\frac{3}{a}）$时，g（x）＞0；当x∈$（\frac{3}{a}，+∞）$时，g（x）＜0．
下面分三种情况讨论：
①当$\frac{3}{a}$＞2，即$0＜a＜\frac{3}{2}$时，由$g（\frac{3}{a}）=0$可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集．
②当$1≤\frac{3}{a}≤2$，即$\frac{3}{2}≤a≤3$时，有g（2）≤0，g（x）在（2，+∞）上单调递减，
故A=（-∞，g（2））⊆（-∞，0）；又g（1）≥0，∴（-∞，0）⊆B，故A⊆B，符合题意；
③当$\frac{3}{a}＜1$，即a＞3时，有g（1）＜0，且g（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=$（\frac{1}{g（1）}，0）$，
A=（-∞，g（2）），∴A不是B的子集．
综上，a的取值范围是$[\frac{3}{2}，3]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、方程的解法、等价转化方法、集合之间的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．