Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2n+$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）根据数列的通项a_n和S_n的关系，即可求解数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=2+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），即可利用裂项相消求解数列的和，得以证明．

解答 解：（1）当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$-$\frac{{（n-1）}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）}{2}$
=n+1，
又n=1时，
a₁=S₁=2适合a_n=n+1，
∴a_n=n+1
（2）证明：由（1）知：
b_n=n+3-（n+1）+$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$
=2+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=2n+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）
=2n+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）
＜2n+$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了数列的通项公式a_n与前n项和S_n公式的应用问题，也考查了数列求和公式的应用问题，是综合性题目．