Question

19．以AB为直径的半圆，|$\overrightarrow{AB}$|=2，O为圆心，C是$\widehat{AB}$上靠近点A的三等分点，F是$\widehat{AB}$上的某一点，若$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{OF}$，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可以点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并连接OC，根据条件可得出∠COA=∠FOB=60°，并且OC=OF=1，这样即可求出点A，B，C，F的坐标，进而得出向量$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{BC}$的坐标，从而得出$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：以O为原点，OB所在直线为x轴，
建立如图所示平面直角坐标系：
连接OC，据题意，∠COA=60°；
∴∠CAO=FOB=60°；
且OC=OF=1；
∴$A（-1，0），F（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}），B（1，0），C（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{AF}=（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}），\overrightarrow{BC}=（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=-\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{3}{2}$．
故答案为：$-\frac{3}{2}$．

点评 考查等弧所对的圆心角相等，通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，以及根据点的坐标求向量坐标的方法，向量数量积的坐标运算．