Question

14．已知点A（0，2），B（4，6），$\overrightarrow{OM}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$，其中t₁、t₂为实数；
（1）若点M在第二或第三象限，且t₁=2，求t₂的取值范围；
（2）求证：当t₁=1时，不论t₂为何值，A、B、M三点共线；
（3）若t₁=a²，$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，且△ABM的面积为12，求a和t₂的值．

Answer 1

分析 （1）由题设条件，得$\overrightarrow{OM}$=（4t₂，2t₁+4t₂），又点M在第二象限或第三象限，列出不等式求出t₂的取值范围；
（2）由平面向量的共线定理，得$\overrightarrow{AM}$=t₂$\overrightarrow{AB}$，能证明A，B，M三点共线；
（3）由t₁=a²表示出$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{AB}$，利用$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$求出t₂=-$\frac{1}{4}$a²，再由S_△ABM=12求出a的值和t₂的值．

解答 解：（1）由A（0，2），B（4，6），
得$\overrightarrow{AB}$=（4，4），
∴$\overrightarrow{OM}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$=（4t₂，2t₁+4t₂），
又点M在第二象限或第三象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{4t}_{2}＜0}\\{{2t}_{1}+{4t}_{2}≠0}\end{array}\right.$，
又t₁=2，
解得t₂＜0且t₂≠-1，
∴t₂的取值范围是（-∞，-1）∪（-1，0）；
（2）证明：t₁=1时，
$\overrightarrow{OM}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OA}$=t₂$\overrightarrow{AB}$，
即$\overrightarrow{AM}$=t₂$\overrightarrow{AB}$，
∴不论t₂为何值，A、B、M三点共线；
（3）∵当t₁=a²时，$\overrightarrow{OM}$=（4t₂，4t₂+2a²），
又∵$\overrightarrow{AB}$=（4，4），$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，
∴t₂=-$\frac{1}{4}$a²．
∴$\overrightarrow{OM}$=（-a²，a²）；
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{2}$，
点M到直线AB：x-y+2=0的距离为
d=$\frac{|{-a}^{2}{-a}^{2}+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|a²-1|；
∵S_△ABM=12，
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•d=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$|a²-1|=12，
解得a=±2，此时t₂=-$\frac{1}{4}$a²=-1．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，三点共线的条件，两个向量垂直的性质，点到直线的距离公式的应用问题，是综合性题目．