Question

4．已知函数f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．
（1）求实数a；
（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；
（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=a，则f（a）=2，从而可知f（x）过定点（a，2），再由题设即可求得a值；
（2）根据图象平移规则：左加右减，上加下减即可求得g（x）表达式，从而可得h（x）的解析式；
（3）令t=log₃x，则t∈[0，2]，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+6 恒成立，可转化为关于t的二次不等式恒成立，进而转化为求函数的最值解决，利用二次函数的性质易求其最值；

解答 解：（1）由已知a^2-a+1=2，∴a=2．　
（2）∵f（x）=2^x-2+1，
∴g（x）=2^x，
∴h（x）=log₂x（x＞0），
（3）要使不等式有意义：则有1＜x≤4且1＜x²≤4，
∴1＜x≤2，
据题有${（{log_2}x+2）^2}≤{log_2}{x^2}+m{log_2}x+6$在（1，2]恒成立，
∴设t=log₂x（1＜x≤2），
∴0＜t≤1，
∴（t+2）²≤2t+tm+6在（0，1]时恒成立．
即：$m≥\frac{{{t^2}+2t-2}}{t}=t-\frac{2}{t}+2$在[0，1]时恒成立，
设$y=t-\frac{2}{t}+2$，t∈（0，1]单调递增，
∴t=1时，有y_max=1，
∴m≥1．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数图象变换及反函数，考查学生分析问题解决问题的能力，解决恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值解决．