Question

9．已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（log₂x）=$\frac{-x+a}{x+1}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在定义域 R的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（3t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知利用换元法求得函数解析式；
（2）直接利用函数单调性的定义证明；
（3）由（2）结合函数的奇偶性把不等式f（t²-2t）+f（3t²-k）＜0恒成立转化为t²-2t＞k-3t²．分离k后求出函数4t²-2t的值域得答案．

解答 解：（1）∵f（log₂x）=$\frac{-x+a}{x+1}$，∴令t=log₂x，
则x=2^t，代入原式中：f（t）=$\frac{-{2}^{t}+a}{{2}^{t}+a}$，则f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+a}$，
又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（0）=0，解得a=1．
则f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+a}$；
（2）由（1）知$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^x}+1}}=\frac{2}{{{2^x}+1}}-1$，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$．
∵函数y=2^x在R上是增函数且x₁＜x₂，
∴${2^{x_2}}$-${2^{x_1}}$＞0．
又（${2^{x_1}}$+1）（ ${2^{x_2}}$+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）∵f（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（3t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（3t²-k）=f（k-3t²），
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞k-3t²．
即对一切t∈[1，2]有：4t²-2t-k＞0，k＜4t²-2t，
当t=1时最小，则{k|k＜2}．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了函数单调性的证明及其应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．