Question

3．已知f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{a}{2}{x^2}+（{a-1}）x+1$，x∈R，其中参数a∈R．
（Ⅰ）是否存在a，使得f（x）在R上单调递增，若存在求a的取值集合，不存在说明理由；
（Ⅱ）若过点P（0，1）且与y=f（x）相切的直线有且只有一条，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设点Q（m，n），且m＞0，证明：若过Q且与曲线y=f（x）相切的直线有三条，则-m+1＜n＜$\frac{1}{3}{m^3}$-m+1．

Answer 1

分析 （I）首先对f（x）求导，由已知f'（x）＞0，x∈R，则△≤0，即可求出a的值；
（II）设切点为（x₀，y₀），则切线方程为：y=f'（x₀）（x-x₀）+y₀，带入P点且只有一解，可求出a的值；
（III）切线方程为y=（${x}_{0}^{2}$-1）x-$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}$+1，令设g（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-mx²+m+n-1，可利用导数求出函数的极大值与极小值，直线有三条，则则g（0）＞0，g（m）＜0．

解答 解：（I）f'（x）=x²+ax+a-1；
由已知f'（x）＞0，x∈R；
∴△≤0，有△=a²-4（a-1）=（a-2）²；
∴a=2；
故a的取值集合为{2}．
（II）设切点为（x₀，y₀），则切线方程为：
y=f'（x₀）（x-x₀）+y₀；
y=（${x}_{0}^{2}$+ax₀+a-1）x-$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}$-$\frac{a}{2}{x}_{0}^{2}$+1；
∵切线过点P（0，1）
∴$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}$+$\frac{a}{2}{x}_{0}^{2}$=0  ①；
由已知，①只有一解，故a=0．
（III）由（II）知，切线方程为y=（${x}_{0}^{2}$-1）x-$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}$+1；
切线过点Q（m，n）；
∴$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}-m{x}_{0}^{2}+m+n-1$=0；
设g（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-mx²+m+n-1；
g'（x）=2x（x-m）；
y=g（x）的极大值为g（0）=m+n-1；
y=g（x）的极小值为：g（m）=-$\frac{1}{3}{m}^{3}$+m+n-1；
切线有3条，则g（0）＞0，g（m）＜0；
即：-m+1＜n＜$\frac{1}{3}{m}^{3}$-m+1．
故得证．

点评 本题主要考查了利用二次函数的图形特征，切线方程以及利用导数判断函数的单调性，属中等题．