Question

12．如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y²=4x相交于A、B两点，点F为抛物线焦点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是$\frac{2}{3}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0），由此推导出|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值．

解答 解：设抛物线C：y²=4x的准线为l：x=-1
直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为$\frac{1}{2}$，
∴点B的坐标为B（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），
把B（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），
解得k=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$．
故答案为$\frac{2}{3}\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．