Question

【题目】已知函数f（x）=3x的定义域为R，满足f（a+2）=18，函数g（x）=λ3ax﹣4x的定义域为[0，1]．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）为定义域上单调减函数，求实数λ的取值范围；
（3）λ为何值时，函数g（x）的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（a+2）=3a+2=18，∴3a=2，即a=log32
（2）解：由（1）可知g（x）=λ3 ﹣4x=λ2x﹣4x，

设2x=t，t∈[1，2]，h（t）=λt﹣t2，

∵t=2x是增函数，g（x）是减函数，

∴h（t）=λt﹣t2在[1，2]上是减函数，

∴ ≤1，即λ≤2

（3）解：由（2）可知h（t）=﹣t2+λt，t∈[1，2]的最大值为 ，

①若 ≥2即λ≥4，则h（t）在[1，2]上单调递增，

∴h（2）=﹣4+2λ= ，解得λ= （舍）．

②若 ≤1即λ≤2时，则h（t）在[1，2]上单调递减，

∴h（1）=﹣1+λ= ，解得λ= ．

③若1＜ ＜2，即2＜λ＜4，则h（t）在[1，2]上先增后减，

∴h（ ）=﹣ + = ，解得λ= （舍）．

综上，λ=

【解析】（1）根据f（a+2）=18计算a；（2）设t=2x，根据复合函数的单调性得出h（t）=λt﹣t2在[1，2]上单调递减，从而得出λ的范围；（3）讨论对称轴与区间[1，2]的关系得出h（t）的单调性，根据最大值为 计算λ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．