Question

（本小题12分）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。

（1）证明：面PAD面PCD；

（2）求AC与PB所成角的余弦值。

Answer 1

（1）见解析；（2） ．

【解析】

试题分析：方法一：∵PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为长度单位，

如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0,0,0）、B（0,2,0）、C（1,1,0）、D（1,0,0）、P（0,0,1）、M（0,1, ）．

（1）证明：∵∴，

∴AP⊥DC．

又 由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，

∴DC⊥面PAD．

又∵DC平面PCD，故面PAD⊥面PCD．

（2）【解析】
∵∴

∴,

故AC与PB所成的角的余弦值为．

方法二：（1）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，∵∠DAB=90°，∴DA⊥AB，又PA∩DA=A，∴,

PA，DA面PAD．∴AB⊥平面PAD．

又AB∥CD

∴DC⊥平面PAD．

DC面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

（2）分别取BC，AB，PA中点为E，F，G，连结EF，FG，GE，AE，

∵BE=CE，BF=AF，∴EF∥AC，同理可得GF∥PB，

则∠PFE（或其补角）即为所求．

∵连结AE,可知AC=CB=BE=AE=2．

又 ，AB=2,，∴∠ACB=90°，又，∴，

∵∠PAE=90°，，∴,∵

∴，故AC与PB所成的角的余弦值为．

考点：考查了面面垂直的判定，异面直线所成的角

点评：此题可以应用空间向量研究线线关系，证明线线垂直，求线线角；也可以利用面面垂直的判定定理证明，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角