Question

16．设$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$为单位向量，且$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夹角为$\frac{π}{3}$，若$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=$4\overrightarrow{e_2}$，
（1）求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$和$|{\overrightarrow a}|$；       
（2）求$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积公式和向量模的公式计算即可．
（2）根据向量的夹角公式计算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$为单位向量，且$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=|$\overrightarrow{e_1}$|•|$\overrightarrow{e_2}$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=$4\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=（$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$）•$4\overrightarrow{e_2}$=4$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$-8|$\overrightarrow{e_2}$|²=4×$\frac{1}{2}$-8=-6，
$|{\overrightarrow a}|$²=（$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$）²=|$\overrightarrow{e_1}$|²+4|$\overrightarrow{e_2}$|²-4$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=1+1×4-4×$\frac{1}{2}$=3，
∴$|{\overrightarrow a}|$=$\sqrt{3}$
（2）设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow b$|=|$4\overrightarrow{e_2}$|=4，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{\sqrt{3}•4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤θ≤π
∴θ=-$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积公式进行运算，即可得出正确的答案，是基础题．