Question

_{记函数f（x）的定义域为D，若存在，使成立，则称为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．}

_{（1）若函数图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；}

_{（2）在（1）的条件下，若a=8,记函数f（x） 图象上有两个不动点分别为A1，A2，P为函数f（x）图象上的另一点，其纵坐标>3，求点P到直线A1A2距离的最小值及取得最小值时的坐标；}

_{（3）下述命题：“若定义在R}上的奇函数_{f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，请举一反例．}

Answer 1

解：（1）若为_{函数f（x）不动点，则有，}

_{整理得          ①}            

_{根据题意可判断方程①有两个根，且这两个根互为相反数，得}

>4a  且，<0

所以b=3 ,a>0                                    

而 ，所以．

即b=3，a>0，且a≠9.                                 

（2）在（1）的条件下，当a=8时，．

由 ，解得_{两个不动点为，}

_{设点P（x ,y）,则y>3 ,即 >3解得x<-3 ．}

_{设点P（x，y）到直线A1A2的距离为d，则}

．                        

当且仅当，即x=―4时，取等号，此时P（―4，4）．

（3）命题正确．                              

因为_{f（x）定义在R}上的奇函数，所以_f（―0）=―_f（0） ,所以0是奇函数_{f（x）的一个不动点．}

_设c≠0是奇函数_{f（x）的一个不动点,则f（c）=c ,由，所以―c也是f （x）的一个不动点．}

_{所以奇函数f（x）的非零不动点如果存在,则必成对出现，故奇函数f（x）的不动点数目是奇数个．}