Question

1．如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F₁F₂PQ为菱形，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由已知得P（2c，$b\sqrt{1-\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}}$），Q（0，b$\sqrt{1-\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}}$），由此利用F₁Q²=OF₁²+OQ²，推导出4e⁴-8e²+1=0，由此能求出结果．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，
过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，四边形F₁F₂PQ为菱形，
∴P（2c，$b\sqrt{1-\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}}$），Q（0，b$\sqrt{1-\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}}$），
∵F₁Q²=OF₁²+OQ²，
∴4c²=c²+b²（1-$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$），整理，得：3a²c²=（a²-c²）（a²-4c²），
∴4e⁴-8e²+1=0，
由0＜e＜1，解得e=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．