Question

【题目】已知椭圆：（）过点与.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆的右焦点，且倾斜角为的直线和椭圆交于、两点，对于椭圆上任一点，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，得到关于，的方程组，求解可得，的值，则椭圆的方程可求；

（2）由（1）知，，，由题意可知的方程，与椭圆方程联立，化为关于的一元二次方程，由，，在椭圆上及根与系数的关系可得，再由基本不等式求最值．

解：（1）∵椭圆过点与，∴，.

∴，，∴椭圆的方程为.

（2）由（1）知，由题意可知的方程为，①

椭圆的方程可化为，②

将①代入②消去，得，③

设，，则有，，

设，由得，

∴又点在椭圆上，

∴

，④

又，在椭圆上，故有，，⑤

而

，⑥

将⑤⑥代入④可得，

∵，

∴，当且仅当时取“=”，则的最大值为.