Question

7．已知向$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，求$\overrightarrow{b}$²+$\overrightarrow{c}$²的值．

Answer 1

分析 可由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$便可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，分别在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$两边乘以$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$便可依次求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}，{\overrightarrow{b}}^{2}，{\overrightarrow{c}}^{2}$的值，从而求出${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$的值．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{c}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$；
同理，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
又$|\overrightarrow{a}|=1$；
∴由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$得，${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=1+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=-1$；
由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0$；
∴${\overrightarrow{b}}^{2}=-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=1$；
同理，由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{c}}^{2}=0$；
∴${\overrightarrow{c}}^{2}=2$；
∴${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}=3$．

点评 考查向量垂直的充要条件，以及数量积的运算及其计算公式．