Question

8．点P（x₀，y₀）在椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1上，且x₀=$\sqrt{2}cosβ，{y_0}$=sinβ，0＜β＜$\frac{π}{2}$．直线l₂与直线l₁：$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}$y=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l₂的倾斜角为γ．
（1）证明：点P是椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1与直线l₁的唯一公共点；
（2）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，能证明点P是椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1与直线l₁的唯一公共点．
（2）利用等比中项法能证明tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

解答 证明：（1）直线l₁：$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}$y=1，得：y=$\frac{1}{2{y}_{0}}（2-{x}_{0}x）$，
代入椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，得（$\frac{1}{2}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4{{y}_{0}}^{2}}$）+（$\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}$-1）=0．
将$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\sqrt{2}cosβ}\\{{y}_{0}=sinβ}\end{array}\right.$代入上式，得：${x}^{2}-2\sqrt{2}cosβx+2co{s}^{2}β=0$，
∴x=$\sqrt{2}cosβ$，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{0}}{2}x+{y}_{0}y=1}\end{array}\right.$有唯一解$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，
∴点P是椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1与直线l₁的唯一公共点．
（2）$tanα=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$tanβ，
l₁的斜率为-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，l₂的斜率为tanγ=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\sqrt{2}$tanβ，
∴tanαtanγ=tan²β≠0，
∴tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．

点评 本题考查直线与椭圆有唯一交点的证明，考查tanα，tanβ，tanγ构成等比数列的证明，考查圆锥曲线、直线方程、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．