Question

16．已知数列$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{3×4}$，…$\frac{1}{n×（n+1）}$，…，S_n为数列的前n项和
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄并猜想计算S_n的公式
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．

Answer 1

分析 （1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值，根据规律猜想S_n；
（2）先验证n=1猜想成立，假设n=k猜想成立，再推导n=k+1猜想成立即可．

解答 解：（1）S₁=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$=$\frac{2}{3}$，
S₃=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=$\frac{3}{4}$，S₄=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$=$\frac{4}{5}$，
猜想：S_n=$\frac{n}{n+1}$．
（2）显然n=1时，猜想成立；
假设n=k（k≥1）时猜想成立，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
∴S_k+1=S_k+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{{k}^{2}+2k+1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k+1}{k+2}$．
∴当n=k+1时猜想成立．
∴对任意n∈N⁺，猜想都成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于中档题．