Question

3．△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanA•tanB，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $3\sqrt{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由题意可知：求得tanC=$\sqrt{3}$．则C=60°．由余弦定理可知：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，由a=4，b+c=5，C=60°，即可求得b的值，由三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：∵tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$，
化简得，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
由题意可知：tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanA•tanB，
∴tanC=$\sqrt{3}$．
由A，B，C为三角形的内角，
∴C=60°．
由余弦定理可知：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
由a=4，b+c=5，C=60°，解得：b=$\frac{3}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故选C．

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用．可知两角和的正切公式，余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题．