Question

13．求下列函数f（x）的解析式．
（1）已知f（1-x）=2x²-x+1，求f（x）；
（2）已知一次函数f（x）满足f（f（x））=4x-1，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）根据换元法求出f（x）的解析式即可；（2）根据待定系数法求出f（x）的解析式即可．

解答 解：（1）设t=1-x，则x=1-t，
∴f（t）=2（1-t）²-（1-t）+1=2t²-3t+2，
∴f（x）=2x²-3x+2．
（2）∵f（x）是一次函数，
∴设f（x）=ax+b（a≠0），
则 f（f（x））=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a²x+ab+b．
∵f（f（x））=4x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{ab+b=-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴f（x）=2x-$\frac{1}{3}$或f（x）=-2x+1．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，换元法和待定系数法是常用方法，本题是一道中档题．