Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，则称f（x） 是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=4^-x+p•2^-x+1，g（x）=

1-q•2x

1+q•2x

．
（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若q∈(0，

2

2

]，函数g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1+（

1

2

）x+（

1

4

）x，可判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，由单调性可得求得f（x）在（-∞，0）上的值域，由值域可判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数． 
（Ⅱ）g（x）=

2

1+q•2x

-1，易判断g（x）在[0，1]上的单调性，由单调性可求得g（x）的值域，进而求得|g（x）|的值域，由上界定义可求得H（q）的范围；
（Ⅲ）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，即-3≤f（x）≤3恒成立，设t=（

1

2

）x，t∈（0，1]，则转化为3≤1+pt+t²≤3恒成立，分离参数p后转化为求函数最值即可解决；

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1+（

1

2

）x+（

1

4

）x，
因为f（x）在（-∞，0）上递减，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数． 
（Ⅱ）g（x）=

2

1+q•2x

-1，∵q＞0，x∈[0，1]，∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即

1-2q

1+2q

≤g(x)≤

1-q

1+q

，
∵q∈（0，

2

2

]，∴|

1-q

1+q

|≥|

1-2q

1+2q

|，
∴|g（x）|≤|

1-q

1+q

|，
H（q）≥|

1-q

1+q

|，即H（q）的取值范围为[

1-q

1+q

，+∞）．
（Ⅲ）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
设t=（

1

2

）x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+pt+t²≤3，
∴-（t+

4

t

）≤p≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立，
设h（t）=-t-

4

t

，m（t）=

2

t

-t，则h（t）在（0，1]上递增；m（t）在（0，1]上递减，
所以h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；m（t）在（0，1]上的最小值为m（1）=1，
所以实数p的取值范围为[-5，1]．

点评：本题考查函数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，正确理解新定义，合理地进行等价转化．