Question

1．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想这个数列{a_n}的通项公式，并证明你猜想的通项公式的正确性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=1，且a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$（n∈N^*），分别取n=1，2，3即可得出；
（II）通过“取倒数”，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，且a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{a_1}{{2{a_1}+1}}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{a_2}{{2{a_2}+1}}=\frac{{\frac{1}{3}}}{{2×\frac{1}{3}+1}}=\frac{1}{5}$，a₄=$\frac{a_3}{{2{a_3}+1}}=\frac{{\frac{1}{5}}}{{2×\frac{1}{5}+1}}=\frac{1}{7}$．
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{2n-1}$（n∈N^*）．
证明如下：
∵a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$，∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{2{a_n}+1}}{a_n}$．∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}$=2．
∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是公差为2的等差数列．
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}$+（n-1）×2．
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{a_n}$=1+（n-1）×2=2n-1．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$（n∈N^*）．
∴猜想的通项公式是正确的．

点评 本题考查了“取倒数法”、等差数列的通项公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．