已知.
(1) 求函数在上的最小值;
(2) 对一切,恒成立,求实数a的取值范围;
(3) 证明:对一切,都有成立.
(1)(2)(3)构造函数,利用导数证明
解析试题分析:(1)由题意知,
当,,单调递减,
当,,单调递增.
① ,t无解;
② ,即时,;
③ ,即时,在上单调递增,;
所以. ……4分
(2) ,则,
设,则,
,,单调递减,
,,单调递增,
所以.
因为对一切,恒成立,所以. ……9分
(3)问题等价于证明,
由⑴可知的最小值是,当且仅当时取到.
设,则,
易得,当且仅当时取到,
从而对一切,都有成立. ……14分
考点:本小题主要考查利用导数求最值,恒成立问题和构造函数证明不等式.
点评:恒成立问题一般转化为最值解决,而证明不等式时,一般会构造新函数,利用导数研究函数的单调性,最值等,进而证明不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,当时函数取得一个极值,其中.
(Ⅰ)求与的关系式;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)当时,函数的图象上任意一点的切线的斜率恒大于,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f (x)的定义域为M,具有性质P:对任意x∈M,都有f (x)+f (x+2)≤2f (x+1).
(1)若M为实数集R,是否存在函数f (x)=ax (a>0且a≠1,x∈R) 具有性质P,并说明理由;
(2)若M为自然数集N,并满足对任意x∈M,都有f (x)∈N. 记d(x)=f (x+1)-f (x).
(ⅰ) 求证:对任意x∈M,都有d(x+1)≤d(x)且d(x)≥0;
(ⅱ) 求证:存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n,满足d(n)=c.
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