已知
．
(1) 求函数
在
上的最小值；
(2) 对一切
，
恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 证明：对一切，都有
成立．
（1）
（2）
（3）构造函数，利用导数证明
解析试题分析：(1)由题意知
，
当
，
，单调递减，
当
，
，单调递增．
① 
，t无解；
② 
，即
时，
；
③ 
，即
时，在
上单调递增，
；
所以． ……4分
(2) 
，则
，
设
，则
，
，
，
单调递减，
，
，单调递增，
所以
．
因为对一切，
恒成立，所以
． ……9分
（3）问题等价于证明
，
由⑴可知
的最小值是
，当且仅当
时取到．
设
，则
，
易得
，当且仅当
时取到，
从而对一切，都有成立． ……14分
考点：本小题主要考查利用导数求最值，恒成立问题和构造函数证明不等式.
点评：恒成立问题一般转化为最值解决，而证明不等式时，一般会构造新函数，利用导数研究函数的单调性，最值等，进而证明不等式.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
，当
时函数
取得一个极值，其中
．
（Ⅰ）求
与
的关系式；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当
时，函数
的图象上任意一点的切线的斜率恒大于
，求的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设函数f (x)的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).
（1）若M为实数集R，是否存在函数f (x)＝ax (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性质P，并说明理由；
（2）若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f (x)∈N. 记d(x)＝f (x＋1)－f (x).
(ⅰ) 求证：对任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；
(ⅱ) 求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.
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满足
(
+2)=
的两实根的平方和为10，
的图象过点(0,3)，
在
上的值域。
的最大值．
上的函数
是减函数，且是奇函数，若
，求实数
的范围。
的单调区间；
且
时，
恒成立，求实数
的范围.
．
，（a¹0,a、bÎR）恒成立，求实数x的范围．