Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=bcosC+

3

3

csinB．
（1）求B；
（2）若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）依据正弦定理化简已知可得sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，可得tanB=

3

，又0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由2

BD

=

BA

+

BC

两边平方可得：4BD²=BA²+BC²+2BA•BCcosB=1+9+2×1×3×

1

2

=13，可解得BD的值．

解答： 解：（1）依据正弦定理得：sinA=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，…（1分）
∵sinA=sin（B+C），∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，
化简可得：tanB=

3

…（3分）
又0＜B＜π
∴B=

π

3

…（5分）
（2）∵2

BD

=

BA

+

BC

，…（7分）
两边平方可得：4BD²=BA²+BC²+2BA•BCcosB=1+9+2×1×3×

1

2

=13，…（9分）
可解得：BD=

13

2

…（10分）

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理，平面向量在解三角形中的应用，属于常考题，中档题．