Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，（n∈N^*），${b_n}=\frac{1}{a_n}$．
（1）证明数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的能项公式．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、取倒数、等差数列的定义即可证明．
（2）由（1）利用等差数列的通项公式可得b_n，即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁≠0，且有${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，所以有a_n≠0（n∈N^*），
则${b_{n+1}}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+2}}{{2{a_n}}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}={b_n}+\frac{1}{2}$，即${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{2}$（n∈N^*），且${b_1}=\frac{1}{a_1}=1$，
所以{b_n}是首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列．
（2）由（1）知${b_n}={b_1}+（n-1）×\frac{1}{2}=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$，即$\frac{1}{a_n}=\frac{n+1}{2}$，
所以${a_n}=\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、取倒数方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．