Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求以点M（3，2）为中点的弦所在直线方程．

Answer 1

分析 （1）先求抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，根据抛物线的定义，即可求得结论；
（2）利用点差法及中点坐标公式，即可求得AB的斜率，利用点斜式即可求得AB的方程．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为：x=-$\frac{p}{2}$，
∵抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
∴根据抛物线的定义可知，3+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=4
∴抛物线C的方程是y²=8x；
（2）由点M（3，2）为中点的弦与抛物线y²=8x交于A，B两点，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∴y_i²=8x₁，y₂²=8x₂，由中点坐标公式y₁+y₂=2×2=4，
两式相减得到（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2，
∴直线方程为y-2=2（x-3），即y-2x+4=0，
以点M（3，2）为中点的弦所在直线方程y-2x+4=0．

点评 本题考查抛物线的标准方程，抛物线的定义，中点坐标公式，点差法求抛物线的直线方程，考查计算能力，属于中档题．