【题目】设,函数
.
(1)若,求证:函数
为奇函数;
(2)若,判断并证明函数
的单调性;
(3)若,函数
在区间
上的取值范围是
,求
的范围.
【答案】(1)见解析;(2)函数为
上的单调递增,证明见解析;(3)当
时,
;当
时,
.
【解析】
(1)当时,函数
,根据函数奇偶性得
,进而得出结论.
(2)当时,函数
的定义域为
,通过单调性的定义法的五步①设元②作差③变形④定号⑤下结论.
(3)因为,
,所以
,分
,
两种情况讨论函数
在区间
上的取值范围是
,进而得出结论.
解:(1)当时,函数
,
因为,所以
,即定义域为
从而对任意的,
,
所以为奇函数.
(2)当时,因为
,所以
,
所以函数的定义域为
.
结论:函数为
上的单调递增函数.
证明:设对任意的,
,且
,
则
,
因为,所以
,即
,
又因为,
,
,
所以,
于是,即函数
为
上的单调递增.
(3)因为,所以
,从而
,
由,知
,所以
,
因为,所以
或
.
当
时,由(2)知,函数
为
上单调递增函数.
因为函数在区间
上的取值范围是
所以,即
,
从而关于的方程
有两个互异实数根.
令,则
,所以方程
,
有两个互异实数根
,从而
.
当
时,函数
在区间
,
上均单调递减.
若,则
,于是
,这与
矛盾,故舍去.
若,则
,于是
,即
,
所以,两式相减整理得,
,
又,故
,从而
,因为
,所以
.
综上可得,当时,
当时,
.
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【题目】抛物线的焦点为F ,已知点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足
.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N,则
的最大值为__________.
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【题目】为迎接2017年“双”,“双
”购物狂欢节的来临,某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共
个,生产一个汤碗需
分钟,生产一个花瓶需
分钟,生产一个茶杯需
分钟,已知总生产时间不超过
小时.若生产一个汤碗可获利润
元,生产一个花瓶可获利润
元,生产一个茶杯可获利润
元.
(1)使用每天生产的汤碗个数与花瓶个数
表示每天的利润
(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】已知函数,
.现有如下两种图象变换方案:
方案1:将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移
个单位长度;
方案2:将函数的图象向左平移
个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变.
请你从中选择一种方案,确定在此方案下所得函数的解析式,并解决如下问题:
(1)画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象;
(2)请你研究函数的定义域,值域,周期性,奇偶性以及单调性,并写出你的结论.
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【题目】即将开工的南昌与周边城镇的轻轨火车路线将大大缓解交通的压力,加速城镇之间的流通.根据测算,如果一列火车每次拖4节车厢,每天能来回16次;如果一列火车每次拖7节车厢,每天能来回10次,每天来回次数是每次拖挂车厢个数
的一次函数.
(1)写出与
的函数关系式;
(2)每节车厢一次能载客110人,试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多?并求出每天最多的营运人数(注:营运人数指火车运送的人数)
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【题目】已知,定义:
表示不超过
的最大整数,例如:
,
.
(1)若,写出实数
的取值范围;
(2)若,且
,求实数
的取值范围;
(3)设,
,若对于任意的
,都有
,求实数
的取值范围.
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【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
年龄x | 28 | 32 | 38 | 42 | 48 | 52 | 58 | 62 |
收缩压 | 114 | 118 | 122 | 127 | 129 | 135 | 140 | 147 |
其中:,
,
请画出上表数据的散点图;
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
;
的值精确到
若规定,一个人的收缩压为标准值的
倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的
倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的
倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的
倍及以上,则为高度高血压人群
一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
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【题目】下列说法正确的是( )
A. “f(0)”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B. 若p:,
,则
:
,
C. “若,则
”的否命题是“若
,则
”
D. 若为假命题,则p,q均为假命题
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